۲-۴-۲رابطه‌هاي ساختاري تنش- کرنش۵۳
۲-۴-۳فرمول‌بندي المان محدود۵۳
۲-۴-۴ماتريس سختي۵۴
۲-۴-۵ماتريس جرم۵۶
۲-۴-۶روش المان محدود سلسله مراتبي۵۷
فصل سوم: تئوري ورق دو‌متغيره پالوده شده۶۰
۳-۱مقدمه۶۰
۳-۲فرضيات اساسي۶۱
۳-۳رابطه‌هاي کرنش- جابجايي۶۲
۳-۴معادله‌هاي ساختاري تنش-کرنش۶۳
۳-۵معادله‌هاي حرکت۶۵
۳-۶فرمول‌بندي المان محدود۶۸
۳-۶-۱ماتريس سختي۶۹
۳-۶-۲ماتريس جرم۷۲
۳-۷روش المان محدود سلسله مراتبي براي تئوري ورق دو‌متغيره پالوده شده۷۳
۳-۷-۱تابع‌هاي شکل روش المان محدود سلسله مراتبي۷۴
۳-۷-۱نتيجه‌گيري۷۵
نتيجه‌گيري و پيشنهاد۸۷
۴-۱نتيجه گيري۸۷
۴-۲پيشنهاد‌ها۸۸
روش المان محدود سلسله مراتبي۸۹
پ-۱-۱ تابع‌ها‌ي شکل سلسله مراتبي……………………………………………………………………………………………………………..۸۹
پ-۱-۲ تابع‌ها‌ي شکل سلسله مراتبي يک‌بعدي………………………………………………………………………………………………..۹۲
پ-۱-۳ تابع‌ها‌ي شکل سلسله مراتبي المان ميله………………………………………………………………………………………………..۹۶
پ-۱-۴ تابع‌ها‌ي شکل سلسله مراتبي المان تير………………………………………………………………………………………………….۹۸
پ-۱-۵ تابع‌هاي مثلثاتي يک‌بعدي……………………………………………………………………………………………………………..۱۰۱
پ-۱-۶ تابع‌ها‌ي شکل سلسله مراتبي دوبعدي (المان مستطيلي)………………………………………………………………………….۱۰۲
مراجع۱۰۴
فهرست جدول‌ها
جدول ‏۳-۱- مقايسه ي تقريب همگرايي روش‌هاي المان محدود براي ورق مستطيلي همسانگرد تئوري کلاسيک ورق۴۴
جدول ‏۳-۲- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۶ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيSSSS45
جدول ‏۳-۳- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۶ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيCCCC46
جدول ‏۳-۴- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۶ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيCCSS46
جدول ‏۳-۵- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۶ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيSFSF47
جدول ‏۳-۶- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۵ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيCFCF47
جدول ‏۳-۷- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۵ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيFFFF48
جدول ‏۳-۸- فرکانس طبيعي بي‌بعد ورق همسانگرد تئوري کلاسيک ورق با ۵ تابع سلسله مراتبي براي شرايط مرزيCFFF48
جدول ‏۳-۹ فرکانس‌هاي ارتعاش آزاد بي‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن لايه‌لايه براساس تئوري کلاسيک۴۹
جدول ‏۳-۱۰- فرکانس‌هاي ارتعاش آزاد بي‌بعد ورق عمودسانگرد متقارن لايه‌لايه براساس تئوري کلاسيک۵۰
جدول ‏۳-۱۱- مقايسه ي همگرايي فرکانس‌هاي بي‌بعد ورق مستطيلي همسانگرد بر پايه تئوري تغييرشکل برشي مرتبه اول۵۸
جدول ‏۴-۱- مقايسه تعداد متغير‌هاي مجهول در تئوري‌هاي تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر۶۱
جدول ‏۴-۲- مقايسه‌ي همگرايي فرکانس‌هاي ارتعاش آزاد بي‌بعد ورق مستطيلي عمودسانگرد تک‌لا بر پايه تئوري RPT76
جدول ‏۴-۳ مقايسه‌ي همگرايي فرکانس‌هاي ارتعاش آزاد بي‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن بر پايه تئوري RPT77
جدول ‏۴-۴- فرکانس مبناي ارتعاش آزاد بي‌بعد براي يک ورق لايه‌لايه نامتقارن عمودچين با ۷۸
جدول ‏۴-۵- فرکانس طبيعي ارتعاش آزاد بي‌بعد براي يک ورق لايه‌لايه نامتقارن عمودچين با ۷۹
جدول ‏۴-۶- مقايسه‌ي‌ فرکانس مبناي ارتعاش آزاد بي‌بعد براي يک ورق نامتقارن ۸۰
جدول ‏۴-۷- مقايسه‌ي‌ فرکانس مبناي بي‌بعد براي يک ورق تک‌لا با شرايط مرزي مختلف()۸۲
فهرست شکل‌ها
شکل ‏۱-۱ تقريب‌ خطي‌ جابجايي در تئوري ‌لايه‌لايه‌اي براي مولفه‌هاي جابجايي لايه‌يI ام [۵۹ ]۱۱
شکل ‏۱-۲- يک ورق مستطيلي بر اساس فرض‌هاي تئوري کلاسيک، قبل و پس از تغيير شکل [۵۹ ]۱۲
شکل ‏۱-۳- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول، قبل و پس از تغيير شکل] [۵۹۱۳
شکل ‏۱-۴- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه سوم، قبل و پس از تغيير شکل] [۵۹۱۵
شکل ‏۱-۵- مقايسه کيفي جابجايي مولفه‌هاي درون-صفحه در راستاي‌ ضخامت ورق در تئوري‌هاي مختلف ورق ] [۵۹۱۶
شکل ‏۳-۱- دستگاه مختصه‌هاي مادي و جهاني ورق مرکب تک‌لا] [۵۹۳۰
شکل ‏۳-۲ المان مستطيلي چهار‌گرهي۳۲
شکل ‏۳-۳ يک المان مستطيلي ناهم‌ديس با سه درجه آزادي در هر گره [۵۹ ]۳۴
شکل ‏۳-۴ يک المان مستطيلي هم‌ديس با چهار درجه آزادي در هر گره [۵۹ ]۳۵
شکل ‏۳-۵ چيدمان تابع‌هاي درون-صفحه سلسله‌مراتبي المان مستطيلي به‌دست آمده از ضرب تابع‌هاي شکل المان ميله۳۹
شکل ‏۳-۶ روش به‌دست آوردن تابع‌هاي شکل دوبعدي سلسله مراتبي با مرتبه پيوستگي به‌صورت نمادين۴۰
شکل ‏۳-۷ روش به‌دست آوردن تابع‌هاي شکل دوبعدي سلسله مراتبي مرتبه پيوستگي به‌صورت نمادين۴۲
شکل ‏۳-۸ چيدمان تابع‌هاي برون-صفحه سلسله مراتبي المان مستطيلي به‌دست آمده از ضرب تابع‌هاي شکل يک‌بعدي تير۴۲
شکل ‏۴-۱ دستگاه مختصات و شماره‌گذاري لايه‌ها براي يک ورق لايه‌لايه۶۱
شکل ‏۴-۲ وضعيت درجه‌هاي آزادي مرز المان مستطيلي براي شرط مرزي تکيه‌گاهي ساده نوع اول۷۵
شکل ‏۴-۳ شرايط مرزي مختلف ورق مستطيلي] [۴۲۸۱
شکل ‏۴-۴ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيSSSS83
شکل ‏۴-۵ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيCCCC83
شکل ‏۴-۶ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيFFFF84
شکل ‏۴-۷ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيCCFF84
شکل ‏۴-۸ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيSSCC85
شکل ‏۴-۹ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيSSCF85
شکل ‏۴-۱۰ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيSSFF86
شکل ‏۴-۱۱ جابجايي عرضي شکل‌مود روش المان محدود سلسله مراتبي با شش تابع براي شرايط تکيه‌گاهيSSSF86
شکل پ-۱ يک ميله تحت اثر نيروي حجمي b و تقريب آن با استفاده از روش‌هاي المان محدود استاندارد وسلسله مراتبي ] [۶۱…….۹۰
شکل پ-۲ نمايش تابع‌هاي شکل سلسله‌ مراتبي و مشتق اول آن‌ها ]‌ [۶۱………………………………………………………………………………..۹۳
شکل پ-۳ تابع‌هاي‌شکل سلسله مراتبي المان ميله ]‌ [۶۲……………………………………………………………………………………………………..۹۷
شکل پ-۴ تابع‌هاي شکل سلسله مراتبي المان تير ] [۶۲……………………………………………………………………………………………………۱۰۰
شکل پ-۵ تابع‌هاي‌شکل سلسله مراتبي مثلثاتي براي المان تير ]‌ [۶۲…………………………………………………………………………………..۱۰۲
شکل پ-۶ تابع‌هاي شکل استاندارد لاگرانژي و سلسله مراتبي با يک‌چندجمله‌اي اضافه‌شده ] [۶۱……………………………………………۱۰۳
چکيده
در اين پايان‌نامه تئوري‌هاي کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول و تئوري دو‌متغيره پالوده شده براي مساله ارتعاش آزاد، با استفاده از روش‌هاي المان محدود استاندارد و المان محدود سلسله مراتبي بررسي‌ مي‌گردد. تئوري دو‌متغيره پالوده شده يک تئوري تک‌لاي معادل است، که در آن براي بيان ميدان جابجايي از دو مولفه‌ي خمشي و برشي استفاده مي‌گردد و مولفه‌ي خمشي در نيرو‌هاي برشي تاثيرگذار نيست‌، درحالي که مولفه‌ي برشي نيز تاثيري در گشتاور‌هاي خمشي ندارد. با حذف مولفه‌ي برشي، اين تئوري به تئوري کلاسيک ورق شبيه خواهد شد. هم‌چنين اين تئوري تغييرات کرنش برشي در راستاي ضخامت ورق را سهموي در نظر‌گرفته و بنابراين نياز به ضريب اصلاح برشي نمي‌باشد. روش المان محدود سلسله مراتبي يک روش پالايش شبکه‌بندي المان است، که در آن با افزايش مرتبه تابع‌هاي شکل به‌کار رفته براي تقريب جابجايي، در تعداد نقاط گرهي المان تغييري ايجاد نمي‌شود. در اين پژوهش ويژگي‌هاي روش المان محدود سلسله مراتبي و تابع‌هاي ‌شکل‌ المان يک بعدي قابل استفاده، توضيح داده مي‌شود، سپس روش استفاده از اين تابع‌ها براي المان دو‌بعدي بيان مي‌گردد. در ادامه فرمول‌بندي روش‌هاي المان محدود استاندارد و سلسله مراتبي براي تئوري‌هاي کلاسيک ورق لايه‌لايه به‌دست مي‌آيد و فرکانس‌ها براي شرايط مرزي گوناگون و با تغيير تعداد لايه‌ها با حل دقيق مقايسه‌ مي‌گردد. مشاهده مي‌شود، که در روش المان محدود سلسله مراتبي با استفاده از درجه‌هاي آزادي کمتر، پاسخ‌هاي دقيق‌تري نسبت به روش المان محدود استاندارد به‌دست مي‌آيد. هم‌چنين فرمول‌بندي المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبي براي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه‌اول به‌دست مي‌آيد و اثر قفل برشي، با تغيير نسبت طول به ضخامت ورق بررسي مي‌گردد. با استفاده از روش المان محدود سلسله‌مراتبي ضمن جلوگيري از اثر قفل برشي، نتيجه‌هاي فرکانس آزاد ورق از دقت بهتري نسبت به روش المان محدود استاندارد برخوردار است. پس از آن تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق ارايه‌ گرديده و معادله‌هاي حرکت و فرمول‌بندي روش‌هاي‌ المان محدود استاندارد و سلسله مراتبي براي آن به‌دست مي‌آيد. فرکانس‌هاي طبيعي در اين تئوري براي ورق‌هاي عمودسانگرد لايه‌لايه متقارن و نامتقارن براي مودهاي مبنا و بالاتر به روش حل دقيق، روش‌هاي المان محدود استاندارد و سلسله مراتبي به‌دست آمده است. با مقايسه نتيجه‌ها، برتري روش المان محدود سلسله مراتبي نسبت به روش المان محدود استاندارد مشاهده مي‌گردد. سپس با تغيير پارامترهاي مختلف ورق عمودسانگرد لايه‌لايه عمودچين و اريب‌چين مانند نسبت مدول‌هاي الاستيسيته، تغيير نسبت طول به ضخامت و تغيير نسبت طول به‌ عرض براي شرايط تکيه‌گاهي مختلف ورق، رفتار اين تئوري به روش‌هاي المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبي بررسي و با نتيجه‌هاي حل دقيق اين تئوري مقايسه مي‌گردد.
کلمه‌هاي کليدي: تئوري کلاسيک ، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول ، تئوري دو‌متغيره‌ پالوده شده، روش المان محدود استاندارد، روش المان محدود سلسله مراتبي
۱- فصل اول
فصل اول: مقدمه
استفاده از مواد مرکب در سازه‌هاي هوافضا، خودروسازي و دريانوردي کاربرد گسترده‌اي دارد. به‌طورکلي مواد مرکب از دو بخش رشته و زمينه تشکيل مي‌شود. رشته‌ها معمولا سخت‌تر و قوي‌تر از زمينه هستند و بار اصلي در ماده مرکب را تحمل مي‌کنند و زمينه به عنوان محافظ رشته‌ها و هم‌چنين وسيله توزيع بار است. زمينه و رشته‌ها در دما و فشار کنترل شده‌اي به يکديگر مي‌چسبند و ماده مرکب را به وجود مي‌آورند که از نظر ويژگي‌هاي مکانيکي از هر دو ماده متفاوت است. مواد مرکب را مي‌توان براي استحکام، سختي، خستگي و مقاومت در برابر گرما و بخار با تغييردر جهت الياف بهينه‌سازي کرد. ويژگي ديگر مواد مرکب نسبت به مواد معمولي، نسبت استحکام به وزن بالاي آن‌ها است. اجزاي سازه‌اي نظير تير و ورق از طريق رويهم‌گذاري لايه‌ها در زاويه‌هاي مختلف به‌منظور دستيابي به ويژگي‌هاي مطلوب ايجاد مي‌شوند.
پديده تشديد در اجزاي سازه و سيستم‌هاي مکانيکي، عمر تجهيزات را کم مي‌کند و حتي باعث شکست کامل و زودرس مي‌گردد. تشديد، تحت تاثير ويژگي‌هاي جرم و سختي سازه مي‌باشد. آناليز مودال، مودهاي ارتعاشي و فرکانس‌هاي آن را به‌دست مي‌آورد. اين روش براي سازه‌هاي ساده قابل استفاده است. اما وقتي‌که سازه پيچيده مي‌شود يا تحت بارگذاري‌هاي پيچيده قرار مي‌گيرد، از روش تحليل المان محدود براي به‌دست آوردن فرکانس‌هاي طبيعي و مودهاي سيستم استفاده مي‌گردد.
۱-۱ تاريخچه‌اي به روش‌هاي حل مسايل ارتعاش آزاد ورق‌ها
شروع مطالعه رفتار ارتعاشي ورق‌ها به انتهاي دهه ۱۸۰۰ باز مي‌گردد، زماني که ريلي روش معروف خود را براي بررسي ارتعاش آزاد سازه‌ها ارايه داد. [۳] پس از آن ريتز در سال ۱۹۰۹ روش ريلي را با در نظر‌گرفتن مجموعه‌اي از تابع‌هاي شکل آزمون بهبود بخشيد، که هر‌کدام ضرايب دامنه مستقلي دارند. به اين ترتيب روش ريلي-ريتز به يکي از روش‌هاي تقريبي پرکاربرد در زمينه بررسي رفتار ارتعاش سازه‌ها تبديل شد. پس از آن، تحقيقات گسترده‌اي در زمينه ارتعاش ورق‌هايي با شکل‌هاي مختلف، شرايط مرزي و بارگذاري متفاوت صورت گرفت. بخش عمده‌اي از اين مطالعه‌ها به ورق‌هاي نازک محدود مي‌شود که در آن از اثر تغيير شکل‌هاي برشي صرف‌ نظر شده است. [۸]
بر خلاف ورق‌هاي نازک، اثر تغيير شکل‌هاي برشي در ورق‌هاي ضخيم قابل ملاحظه است. صرف نظر‌کردن از اثر‌هاي برشي در اين نوع ورق‌ها ، منجر به افزايش قابل ملاحظه مقدار فرکانس‌هاي ارتعاشي در جهت عدم اطمينان مي‌شود. از اين رو تئوري‌هاي تغيير شکل برشي مرتبه اول۱ مانند تئوري ريزنر-‌‌ميندلين و ديگر تئوري‌هاي تغيير شکل برشي مرتبه‌هاي بالاتر۲ توسط محققين مختلف براي بررسي رفتار ارتعاش ورق‌ها مورد استفاده قرار گرفته است.
ميندلين و همکارانش، ارتعاش ورق‌هاي مستطيلي ضخيم با شرايط مرزي چهار طرف مفصل و شرايط لوي را بررسي نمودند و حل تحليلي آن‌ها را ارايه دادند. آن‌ها به اين نتيجه رسيدند، که در ورق هاي چهار طرف مفصل سه دسته مود مستقل قابل حصول است. هم‌چنين در‌هم‌کنش ساير مودها براي ورقي با يک جفت مرز آزاد و جفت ديگر مفصلي مورد مطالعه قرار گرفت.
نور [۹] در سال ۱۹۷۳ به بررسي ارتعاش آزاد ورق‌هاي مرکب لايه‌لايه‌ پرداخت. وي نتيجه‌هاي حاصل از تئوري کلاسيک ورق لايه‌لايه۳، تئوري ميندلين و تئوري الاستيسيته سه‌بعدي را با يکديگر مقايسه نمود وبه اين نتيجه رسيد، که تئوري کلاسيک ورق براي تخمين رفتار ارتعاش ورق‌هايي با درجه عمودسانگردي بالا و نسبت ضخامت به طول بيشتر از ۱/۰ مناسب نيست. اين در‌حالي‌است که نتايج تئوري ميندلين، براي برآورد فرکانس‌هاي ارتعاش پايين در ورق‌هاي نسبتا ضخيم لايه‌لايه‌اي با نسبت ضخامت به طول کمتر از۲/۰ رضايت‌بخش است.
روش ريلي-ريتز در سال ۱۹۸۰ توسط داو و رانائل [۱۰] براي ارتعاش آزاد ورق ميندلين به‌کار برده شد. ايشان از تابع‌هاي تير تيموشينکوف به عنوان تابع‌هاي شکل استفاده نمودند و ورق‌هاي مربعي با پنج ترکيب مختلف از شرايط مرزي را بررسي کردند. ايشان هم‌چنين اين روش را براي حالتي بسط دادند که ورق تحت تنش‌هاي درون-صفحه‌اي است. براساس اين روش ليو و همکارانش ارتعاش ورق‌هاي دايره‌اي و حلقوي شکل را براي شرايط مرزي متفاوت بررسي کردند. [۱۱] اين روش هم‌چنين در مطالعه ارتعاش ورق‌هاي متوازي الاضلاع و مثلثي با شرايط مرزي مختلف مورد توجه قرار گرفت.
تعداد زيادي از محققين، از روش المان محدود در بررسي ارتعاش آزاد ورق‌ها بهره جستند. به عنوان مثال راک و هينتون ]‌[۵۹ ، المان‌هاي خمشي چهار ضلعي هم پارامتري را به منظور تحليل ارتعاش ورق‌هاي ضخيم ونازک معرفي نمودند. چونگ و کواک [۱۲] ، المان‌هاي حلقوي و قطاع شکل را براي مطالعه ارتعاش آزاد ورق‌هاي لايه‌لايه‌اي ضخيم با مرزهاي منحني شکل توسعه دادند. ردي و کوپاسامي[۱۳] ، روش المان محدودي را براساس تئوري الاستيسيته سه بعدي براي ارتعاش آزاد ورق‌هاي لايه‌لايه‌‌اي ناهمسانگرد مستطيلي ارايه داد.
روش نوار محدود ۴ FSMنيز به عنوان يکي از روش‌هاي پرکاربرد در زمينه حل مسايل مقادير ويژه توسط بسياري از محققين مورد استفاده قرار گرفته است. در مرجع [۱۴] از تئوري‌هاي تغيير شکل برشي براي بررسي مسايل ارتعاش آزاد ورق‌هاي مرکب لايه‌لايه استفاده شده است.
ميدان جابجايي و تنش‌هاي عرضي، به‌دليل حفظ شرايط همسازي و تعادل از شرايط پيوستگي نوع در راستاي ضخامت ورق برخوردارند. بر اين اساس، تئوري‌هاي مختلفي براي مسايل ورق و پوسته‌ها توسط محققين ارايه شده است. از ميان انبوه تئوري‌هاي موجود، آن دسته از تئوري‌هايي که متغيرهاي مجهول آن‌ها از جنس جابجايي هستند، براساس چگونگي تعريف مولفه‌هاي ميدان جابجايي و مدل‌سازي پيوستگي بين لايه‌ها در دو گروه طبقه‌بندي مي‌شوند.
الف) تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي ۵
در اين دسته از تئوري‌ها، ميدان جابجايي درهر لايه به صورت مستقل تعريف مي‌شود. بنابراين در لايه ام خواهيم داشت
‏۱-۱تعداد متغيرهاي مجهول در اين نوع فرمول‌‌سازي، بستگي به مقدار لايه‌ها دارد. معادله‌هاي حاکم براي هر لايه به صورت جداگانه نوشته مي‌شود و شرايط مرزي بين لايه‌اي مرتبط با تنش‌ها و تغيير شکل‌ها به عنوان شرط‌هاي اضافي اعمال مي‌گردند.
در صورت اهميت جزئيات رفتار هر يک از لايه‌ها به‌صورت جداگانه و يا احتمال بروز تغييرات شديد گراديان مولفه‌هاي ميدان جابجايي در بين لايه‌ها، لزوم استفاده از تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي قابل توجيه است. اگرچه کاربرد آن‌ها منجر به افزايش تعداد مجهول‌هاي مساله و پيچيدگي بيشتر آن مي‌گردد. تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي برخلاف تئوري‌هاي تک‌لايه معادل، امکان ارضاي پيوستگي تنش‌هاي عرضي در مرز بين لايه‌ها را فراهم مي‌سازد. اين تئوري‌ها به دو دسته عمده تقسيم مي شوند:
۱) تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي جزيي۶
دراين تئوري‌ها توزيع لايه‌اي تنها براي مولفه‌هاي درون-صفحه‌اي ميدان جابجايي در نظر گرفته مي‌شود.
۲) تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي کامل۷
که در آن هر سه مولفه جابجايي در هر لايه به صورت جداگانه تعريف مي‌شوند.
تئوري‌هاي لايه‌لايه‌اي قابليت بيان تغييرات زيگزاگي مولفه‌هاي جابجايي درون-صفحه‌اي را در راستاي ضخامت ورق دارند. اين رفتار زيگزاگي در ورق‌هاي لايه‌لايه‌اي ضخيم آشکارتر است، به دليل اين‌که در آن‌ها مدول برشي عرضي تغييرات شديدي در راستاي ضخامت ورق دارد. تعداد بسياري از اين دسته از تئوري‌ها در مراجع ]‌[۵۹ و ]‌[۶ يافت مي‌شود. به‌عنوان نمونه، کو و همکاران ] [۸، تئوري لايه‌لايه‌اي درجه‌هاي بالايي را به فرم زير براي آناليز ديناميکي ورق‌هاي لايه‌لايه‌‌اي به‌کار برده‌اند. نثير و همکاران، [۷] شکل تعميم‌يافته‌اي از اين نوع تئوري‌ها را با بيان متغيرهاي جابجايي براساس چند‌جمله‌اي‌هاي لاگرانژي ارايه دادند.
شکل ‏۱-۱ تقريب‌ خطي‌ جابجايي در تئوري ‌لايه‌لايه‌اي براي مولفه‌هاي جابجايي لايه‌يI ام [۵۹ ]
ب) تئوري‌هاي تک‌لايه معادل ۸
در اين روش همه‌ي ورق لايه‌لايه، به‌عنوان يک لايه معادل در نظر گرفته شده است و مولفه‌هاي ميدان جابجايي به فرم زير بيان ‌مي‌شوند.
(‏۱-۲)در ادامه به‌منظور آشنايي بيشتر با تئوري‌هاي ورق، مروري بر تئوري کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول و تئوري تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر خواهد گرديد و در پايان مقاله‌هاي مرتبط با تئوري دو‌متغيره پالوده شده بيان مي‌گردد.
۱)تئوري کلاسيک ورق‌هاي لايه‌لايه‌ اي
اين تئوري فرم توسعه يافته تئوري معروف کلاسيک ورق براي ورق‌هاي مرکب لايه‌اي است. در اين تئوري ميدان جابجايي به شکل زير بيان مي‌گردد.
(‏۱-۳)که ، و مولفه‌هاي تغيير مکان در راستاي ، و دستگاه مختصات در يک نقطه از ميان-صفحه است.
به‌طور کلي سه شرط در اين تئوري مورد استفاده قرار گرفته‌ است.
الف: صفحه عمود بر ميان صفحه بعد از تغيير شکل هم بر ميان-صفحه عمود باقي مي‌ماند.
ب: يک خط مستقيم، عمود بر صفحه مياني پس از تغيير شکل نيز به صورت مستقيم و بدون انحنا مي‌باشد.
ج: طول خط مستقيم عمود بر صفحه مياني قبل ازتغيير شکل، پس از تغيير شکل نيز تغيير نمي‌کند.
شکل ‏۱-۲- يک ورق مستطيلي بر اساس فرض‌هاي تئوري کلاسيک، قبل و پس از تغيير شکل [۵۹ ] در نظر گرفته نشدن اثرهاي تغير شکل برشي عرضي، کاربرد تئوري کلاسيک ورق را به وررق‌هاي نازک و ورق‌هاي با نسبت مدول الاستيسيته به مدول برش کم، محدود مي‌سازد. در بسياري از کاربرد‌هاي مهندسي، مثلا سيلندرهاي راکتورهاي هسته‌اي، لزوم استفاده از ديواره‌هاي ضخيم امري گريز ناپذير است . در اين موارد نتايج آناليز تئوري کلاسيک قابل اعتماد نخواهد بود. و موجب به‌دست ‌آمدن مقدار تغيير شکل کمتر و فرکانس طبيعي و بار بحراني بيشتري در جهت عدم اطمينان مي‌شود. از اين رو به‌منظور در‌نظر‌گرفتن اثر‌هاي تغيير شکل برشي عرضي در رفتار ورق‌ها و پوسته‌ها، دسته جديدي از تئوري‌ها موسوم به تئوري‌هاي تغيير شکل برشي توسعه داده شده است.
۲) تئوري‌هاي تغيير شکل برشي
اولين تحقيق‌ها در زمينه بررسي رفتار ورق‌هاي ضخيم در ميانه‌ي دهه ۱۹۴۰ و ابتداي ۱۹۵۰ توسط ريزنر و ميندلين صورت گرفت. تفاوت اصلي بين اين دو تئوري اين است، که تئوري ورق ريزنر از اصل وردشي انرژي کرنشي مکمل، با فرض توزيع تنش برشي سهموي و توزيع تنش خمشي خطي به‌دست آمده است و ميندلين تئوري خود را با فرض تغييرات خطي جابجايي در جهت ضخامت ورق و تغيير طول ناچيز در جهت ضخامت نسبت به ضخامت ارايه نمود. با مقايسه اين دو تئوري ] [۱۸ مشخص است، که تنش نرمال در تئوري ميندلين صرف‌نظر شده است، درحالي که در تئوري ورق ريزنر اين تنش نرمال حساب مي‌شود. تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول براساس ميدان جابجايي زير بيان مي‌گردد.
(‏۱-۴)که در آن ،، مولفه‌هاي تغيير مکان در راستاي،و دستگاه مختصه‌هاي در يک نقطه از ميان صفحه است. و چرخش‌هاي مستقل يک المان خطي بر ميان صفحه حول محورهاي و است.
به‌طور کلي دو شرط در اين تئوري مورد استفاده قرار گرفته است.
الف: يک خط مستقيم عمود بر ميان-صفحه، پس از تغيير شکل به صورت مستقيم باقي مي‌ماند.
ب: طول خط مستقيم عمود بر صفحه مياني قبل ازتغيير شکل، بعد از تغيير شکل نيز تغيير نمي‌کند.
تفاوت اين تئوري با تئوري کلاسيک ورق در اين است که خط عمود بر صفحه مياني پس از تغيير شکل غيرعمود مي‌شود و نسبت به ميان-صفحه زاويه مي‌گيرد. به‌دليل اين‌که فرض‌هاي کرنش برشي ثابت يک ساده‌سازي است، مي‌توان با استفاده از يک ضريب اصلاح برشي k در رابطه‌هاي ساختاري رفتار مدل را اصلاح نمود.
شکل ‏۱-۳- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول، قبل و پس از تغيير شکل] [۵۹تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول توسط ويتني و پاگانو ] [۵۹ براي مطالعه رفتار ارتعاشي و خمشي ورق‌هاي ناهمسانگرد و توسط ليو و همکارانش [۱] براي تحليل ورق‌هاي ضخيم به‌کار رفته است.

به‌منظور تقريب دقيق‌تري از تغيير شکل برشي و تغيير شکل عمودي ورق‌ها، تئوري هاي تغيير شکل برشي مرتبه‌ بالاتر، براساس بسط تيلور مرتبه بالاتر مولفه‌هاي ميدان جابجايي در راستاي ضخامت ورق توسعه پيدا نمودند. در اين دسته از تئوري‌ها، ميدان جابجايي درون-صفحه در راستاي ضخامت غيرخطي خواهد بود و هم‌چنان جابجايي در راستاي ضخامت ورق ناچيز فرض مي‌گردد. از ميان تئوري‌هاي مرتبه بالاتر مي‌توان به تئوري مرتبه دوم ويتني و سان ] [۵۹ ، کوتام و گانسان [۲] و نقدي ] [۲۳ اشاره نمود. تئوري تغيير شکل مرتبه دوم نقدي، تقريبا نتيجه‌هاي بهتري را نسبت به تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول ارايه داده است، اما هم‌چنان نقص‌هاي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول را دارد. ميدان جابجايي براي اين تئوري به‌صورت زير ارايه مي‌گردد.
(‏۱-۵)که در اين رابطه ،،،،و تابع‌هاي مجهول در دستگاه مختصه‌هاي و هستند. به‌منظور ايجاد رفتار سهموي تنش برشي در جهت ضخامت ورق و برقراري شرط تش برشي صفر روي سطح‌هاي بالا و پايين ورق، تئوري‌هاي مرتبه سوم۹ ] [۲۱، ارايه گرديد. در ميان تئوري‌هاي مرتبه سوم، تئوري لوينسون [۴]و ردي ]‌[۵ بيش از ساير تئوري‌هاي مرتبه‌هاي بالاتر در مطالعه ورق‌هاي مرکب به‌کار رفته است.
ردي ] [۵ در سال ۱۹۸۰ ، توزيع تنش برشي عرضي را سهموي و با کمک تابع‌هاي چندجمله‌اي تا مرتبه سه و برقراري شرط تنش برشي صفر روي سطح‌هاي آزاد ورق در بالا و پايين ايجاد نمود، بنابراين نيازي به ضريب اصلاح برشي در اين تئوري نيست و هم‌چنان شرط کرنش صفر در جهت ضخامت در اين تئوري نيز برقرار است. ميدان جابجايي براي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه سوم، با چند‌جمله‌اي‌هاي مرتبه سوم به‌صورت زير بيان مي‌شود.
(‏۱-۶)تئوري‌هاي ورق را مي‌توان با بسط مرتبه‌ي مجموعه‌ها براي جابجايي در راستاي ضخامت در جهت عمود بر ميان-صفحه‌ي ورق گسترش داد. در اصل، تئوري‌هايي که به اين روش توسعه يافته‌اند، تعداد جمله‌هاي بيشتري در مجموعه چندجمله‌اي ميدان جابجايي براي دقت بيشتر استفاده مي‌کنند. اين تئوري‌هاي مرتبه بالاتر، پيچيده و داراي هزينه محاسباتي سنگين مي‌باشند، به‌دليل اين‌که هر رتبه نمايي که به ميدان‌ جابجايي در راستاي ضخامت ورق اضافه مي‌شود، يک درجه آزادي استقلال بيشتر به سيستم اضافه مي‌کند. در ادامه چند نمونه از اين تئوري‌ها بيشتر توضيح داده‌ مي‌شود.
شکل ‏۱-۴- يک ورق بر اساس فرض‌هاي تئوري تغيير شکل برشي مرتبه سوم، قبل و پس از تغيير شکل] [۵۹
حنا و ليسا ] [۲۱ درسال ۱۹۹۴، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر جديدي را براي بررسي ارتعاش آزاد ورق ضخيم ارايه مي‌دهند. پس از برقراري شرط تنش برشي صفر روي سطح‌هاي بالايي و پاييني ورق، ميدان جابجايي به‌صورت زير بيان گرديده است.
(‏۱-۷)
همان‌طور که مشاهده مي‌شود، در رابطه‌ي بالا در صورت حذف ، و رابطه‌اي شبيه به تئوري تغيير شکل مرتبه اول ميندلين به‌دست مي آيد، که جابجايي عرضي ميان-صفحه و و دوران ميان-صفحه به‌دليل خمش است. ، و بيانگر مولفه‌هاي اصلاحي مرتبه بالاتر براي هر مولفه جابجايي ورق هستند. پارامتر‌هاي و شرط عمود بودن ميان-صفحه را حذف مي‌نمايند و اجازه مي‌دهد تا صفحه‌هاي بالا و پايين ورق به صورت مستقل نسبت به ميان-صفحه در جهت ضخامت ورق در حين حرکت ارتعاشي جابجا شوند.
کريشنا مورتي ] [۲۰ در سال ۱۹۷۵، تئوري تغيير شکل مرتبه بالاتر ديگري را براي بررسي ارتعاش آزاد ورق ضخيم ارايه مي‌دهد. او در تئوري خود براي ميدان جابجايي درون-صفحه از يک مجموعه با تعداد جمله‌هاي نامتناهي استفاده مي‌نمايد و ميدان جابجايي ، و در دستگاه مختصه‌هاي ، و به‌صورت زير بيان مي‌شوند.
(‏۱-۸)جابجايي‌هاي درون-صفحه ، ، ، ، و چندجمله‌اي فقط تابع مختصه‌هاي و هستند. در صورتي که فقط دو جمله اول اين تئوري در نظر گرفته شود، اين تئوري مشابه تئوري تغيير شکل مرتبه اول مي‌باشد. مولفه‌هاي و، به‌منظور ايجاد حرکت‌هاي دلخواه در جابجايي‌هاي و در راستاي ضخامت ورق استفاده گرديده اند. تغيير‌ در راستاي ضخامت ورق به‌دليل تاثير ناچيز بر فرکانس‌هاي طبيعي مود‌هاي خمشي چشم‌پوشي گرديده است .
در حالتي که در ارتعاش خمشي ورق ضخيم و نسبت به پادمتقارن در نظر گرفته شوند، در مقدار صفر مي‌باشد. در سطح‌هاي بالا و پايين ورق تنش برشي صفر است( ). براي برقراري اين شرايط به‌صورت زير انتخاب شده است.
(‏۱-۹)که در آن مي‌باشد.

شکل ‏۱-۵- مقايسه کيفي جابجايي مولفه‌هاي درون-صفحه در راستاي‌ ضخامت ورق در تئوري‌هاي مختلف ورق ] [۵۹در سال ۲۰۰۲ شيمپي ‌]‌[۱۹ ، در مقاله‌اي تئوري جديدي به نام تئوري دومتغيره پالوده شده۱۰ ورق براي تحليل ورق به روش تک‌لاي معادل ارايه نمود. در اين تئوري، تغييرات تنش برشي سهموي در نظر گرفته مي‌شود و به همين دليل در تئوري‌هاي تغيير شکل مرتبه بالاتر دسته‌بندي مي‌گردد. او در اين تئوري فرض مي‌کند که مولفه‌هاي جابجايي درون-صفحه و برون-صفحه ورق، هر دو داراي مولفه‌هاي خمشي و برشي مي‌باشند. ايشان در تئوري خود جابجايي عرضي در راستاي ضخامت ورق را به‌صورت زير تعريف مي‌نمايد.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(‏۱-۱۰)که در آن و به‌ترتيب مولفه‌هاي خمشي و برشي در راستاي ، و دستگاه مختصه‌ها مي‌باشند. هم‌چنين ميدان جابجايي درون-صفحه و، بر‌اساس مولفه‌هاي جابجايي عرضي به صورت زير تعريف گرديده‌اند.
(‏۱-۱۱)که در اين رابطه و مولفه‌هاي تغيير مکان در راستاي ، و دستگاه مختصه‌ها در يک نقطه از ميان صفحه است. براي جابجايي و ،مي‌توان جابجايي خمشي درون-صفحه ناشي از و جابجايي برشي درون-‌صفحه ناشي از را جداگانه در نظر گرفت، که و مولفه‌هاي خمشي و هستند و و مولفه‌هاي برشي و هستند.
توجه شودکه مولفه‌هاي جابجايي خمشي ، و ، کرنش‌هاي برشي برون-صفحه و را ايجاد نمي‌کنند و بنابراين تنش‌هاي برشي متناظر و را نيز نخواهند داشت. بنابراين و به‌صورت زير تعريف گرديده است.
(‏۱-۱۲)هم‌چنين و به‌صورت زير بيان مي‌گردد.

(‏۱-۱۳)مولفه‌ي برشي مربوط به جابجايي و مولفه‌ي برشي مربوط به جابجايي به‌صورتي است که:
الف) با افزايش ، کرنش‌هاي برشي در راستاي ضخامت و به صورت سهموي تغيير مي‌يابد و هم‌چنين توزيع سهموي تنش‌هاي برشي و در جهت ضخامت در سطح‌هاي بالا و پايين ورق صفر است.
ب) گشتاور‌هاي ، و با و اشتراکي ندارند.
وي در اولين مقاله خود تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق را به دو روش بررسي نموده است. روش اول را وردشي پايدار و روش دوم را وردشي ناپايدار نام‌گذاري نمود. در روش وردشي پايدار، معادله‌هاي حاکم را با فرض عدم ارتباط مولفه‌هاي خمشي و برشي با هم ايجاد نموده است، که در نتيجه ممان خمشي و نيروي برشي نسبت به هم مستقل مي‌شوند و با استفاده از اصل مينيمم انرژي پتانسيل معادله‌هاي حاکم به‌دست مي‌آيند. در حالت وردشي پايدار، شرط عدم ارتباط مولفه‌هاي برشي و خمشي حذف شده است و معادله‌هاي حاکم را با استفاده از رابطه‌هاي تعادل تئوري الاستيسيته براي ورق به‌دست آورده است. نتيجه‌هاي به‌دست آمده از اين تئوري براي يک ورق همسانگرد مستطيلي، در آناليز خيز و تنش با نتيجه‌هاي تئوري کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه صفرم و حل دقيق تئوري الاستيسيته مقايسه شده است،که نتايج تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق در هر دو حالت وردشي پايدار و وردشي ناپايدار از دقت بسيار بالاتري نسبت به تئوري کلاسيک ورق برخوردار است. ويژگي‌هاي استفاده از اين تئوري نسبت به تئوري هاي ديگر به شرح زير است:
الف) گشتاور خمشي و نيروي برشي در مسايل استاتيکي نادر‌هم‌گير۱۱ و در مسايل ديناميکي فقط ماتريس جرم درهم‌گير۱۲ است.
ب) در معادله‌هاي ميدان جابجايي، براي ورق متقارن دو مجهول و براي ورق نامتقارن چهار مجهول وجود دارد، که تعداد مجهول‌ها در تئوري‌ کلاسيک ورق سه ، تئوري ‌تغييرشکل برشي مرتبه اول چهار مجهول، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر ردي (۱۹۸۵) پنج مجهول ] [۲۷ ، نلسون و لورچ(۱۹۷۴) نه مجهول ] [۲۶ ، مورتي (۱۹۷۷) پنج ، هفت و نه مجهول ] [۲۰ ، لو و همکاران (۱۹۷۷) با يازده مجهول ] [۲۵، کانت (۱۹۸۲) با شش مجهول ] [۲۴ ، ردي (۱۹۸۴) با پنج مجهول ، حنا و ليسا (۱۹۹۴) با چهار مجهول ] [۲۱ مي‌باشند.
ج) پاسخ‌هاي تئوري دو‌متغيره پالوده شده از دقت مناسب برخوردار است و حجم محاسبات درمقايسه با ديگر تئوري‌هاي مرتبه بالاتر،کمتر مي‌باشد.
در ادامه به مروري بر پژوهش‌هاي انجام گرفته با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده مي‌پردازيم:
در سال ۲۰۰۶ شيمپي و پاتل ] [۲۹ يک ورق عمودسانگرد تک‌لايه را مورد بررسي قرار داده‌اند و آناليز ارتعاشي براي ضخامت‌هاي مختلف ورق انجام گرفته است.
در سال ۲۰۰۹ کيم و همکاران ] [۳۰ ، در مقاله‌اي به بررسي يک ورق مرکب لايه‌لايه با تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق پرداخته‌اند. آن‌ها معادله حرکت را با استفاده از اصل هميلتون به‌دست آورده و حل بسته يک ورق عمود‌چين و اريب‌چين نامتقارن را با استفاده از روش حل ناوير به‌دست ‌آورده‌اند. آن‌ها نتايج عددي ارايه شده در اين تئوري را با نتايج حل سه بعدي الاستيسيته، نتايج حل تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول و تئوري تغيير شکل برشي مرتبه مقايسه نموده‌اند. آن‌ها نشان داده‌اند که براي مسايل استاتيکي و رفتار کمانش يک ورق مرکب لايه‌لايه بر‌اساس تئوري دو‌متغيره پالوده شده پاسخ‌هايي با دقت بالا به‌دست آورده‌اند.
در سال ۲۰۰۹ کيم و همکاران ] ۳۱ [در مقاله‌اي ديگر تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق را بررسي نموده‌اند. دراين مقاله، آن‌ها کمانش يک ورق مستطيلي همسانگرد و عمودسانگرد را بر مبناي تئوري دو‌متغيره پالوده شده براي شرايط تکيه‌گاهي ساده، به روش ناوير بررسي نموده‌اند و با نتايج تئوري کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول و حل دقيق تئوري الاستيسيته، براي نسبت پارامتر‌هاي مختلف مقايسه نموده‌اند. آن‌ها نشان داده‌اند که نتايج اين تئوري نسبت به تئوري کلاسيک ورق، دقيق‌تر بوده و با تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول، قابل مقايسه است.
در سال ۲۰۱۰، کيم و تاي ] [۳۲ ارتعاش آزاد يک ورق مرکب لايه‌لايه را با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده ورق بررسي نموده‌اند. ايشان حل بسته مساله را با استفاده از روش ناوير براي ورق لايه‌لايه‌ي متقارن و نامتقارن عمود‌چين و اريب‌چين انجام‌ داده‌اند. نتايج عددي به‌دست آمده را با حل دقيق تئوري الاستيسيته، تئوري شکل برشي مرتبه اول و تئوري تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر مقايسه و نتيجه گرفته‌اند، که تئوري دو‌متغيره پالوده شده در مساله ارتعاش آزاد ورق مرکب لايه‌لايه، از دقت مناسبي برخوردار است.
در سال ۲۰۱۱ تاي و کيم ] [۳۳ در مقاله‌اي به بررسي کمانش براي يک ورق مرکب عمودسانگرد، با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده پرداخته‌اند. در اين مقاله آناليز کمانش يک ورق مستطيلي با شرايط مرزي دو لبه روبه‌رو تکيه‌گاهي ساده و دو لبه ديگر با شرايط مرزي مختلف، با استفاده از روش حل لوي انجام گرفته است و اثر شرايط مرزي، وضعيت بارگذاري، تغييرات نسبت مدول يانگ و نسبت طول به ضخامت ورق‌ در بار بحراني براي ورق عمودسانگرد بررسي شده است.
در سال ۲۰۱۲ تاي و کيم ] ۳۵[ در مقاله‌اي ديگر به بررسي ارتعاش آزاد ‌يک ورق عمودسانگرد، ‌با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده پرداخته‌اند. در اين مقاله حل بسته براي ‌يک ورق مستطيلي به روش حل لوي انجام گرفته است و براي پارامتر‌هاي مختلف، فرکانس‌هاي طبيعي به‌دست آمده است.
در همان سال، تاي و کيم ] [۳۴ در مقاله‌اي خيز و تنش را براي يک ورق مرکب عمودسانگرد‌ با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده به‌دست آورده‌‌اند و اثر شرايط مرزي و پارامتر‌هاي مختلف، بر خيز و تنش يک ورق عمودسانگرد بررسي شده است.
نارندار وکوپالاکريشنا ] ۳۶[ در سال ۲۰۱۲ آناليز کمانش يک ورق نانو عمودسانگرد مانند گرافن۱۳ را با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده براي اثرهاي نا‌موضعي مقياس کوچک۱۴، انجام داده‌اند.آن‌ها معادله حرکت را با استفاده از اصل جابجايي مجازي به‌دست آورده و حل بسته را براي يک ورق مستطيلي عمودسانگرد به روش ناوير براي شرايط تکيه‌گاهي ساده به‌دست آورده‌اند و نتايج را با تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول براي ضريب‌هاي اصلاح برشي مختلف مقايسه نموده‌اند. در اين مقاله اثر نسبت طول به ضخامت و نسبت فشار بر کمانش يک ورق نانوي عمودسانگرد بررسي شده است.
در سال ۲۰۱۳ تاي و کيم ] [۳۷ ، خمش و ارتعاش آزاد يک ورق FGM را با استفاده از تئوري‌هاي مرتبه بالاتر و تئوري دو‌متغيره پالوده شده مورد بررسي قرار داده‌اند. در اين مقاله نشان داده مي‌شود، که نتايج حل دقيق تئوري براي شرايط تکيه‌گاهي ساده با تعداد مجهول‌هاي کمتر در معادله‌هاي حاکم، به همان دقت تئوري‌هاي ديگر مرتبه بالاتر ورق با تعداد مجهول‌هاي بيشتر است.
ملک زاده و شجاعي ] [۳۸ در مقاله‌اي در سال ۲۰۱۳ به بررسي ارتعاش آزاد ورق نانو با استفاده از تئوري دو‌متغيره پالوده شده پرداخته‌اند. آن‌ها معادله‌ي حرکت و شرايط مرزي را با استفاده ازمعادله‌هاي ساختاري نا‌موضعي ارينگن بر پايه تئوري ورق دو‌متغيره پالوده شده با استفاده از اصل هميلتون به‌دست آوردند. معادله‌هاي به‌دست آمده، فقط در حالت ديناميکي درهم‌گير مي‌باشند. آن‌ها با استفاده از روش DQM، اثر پارامتر‌هاي کوچک را روي فرکانس‌هاي ارتعاش آزاد يک نانو ورق براي شرايط مرزي گوناگون بررسي نموده‌اند.
تاي و چوي ] [۳۹ در سال۲۰۱۳، به بررسي ورق همسانگرد، براي مسايل خمش،کمانش و ارتعاش آزاد يک ورق بر پايه‌ي تئوري دو‌متغيره پالوده شده پرداخته‌اند و نتايج آن را با تئوري‌ کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه سوم مقايسه نموده‌اند.
تاي و چوي ] [۴۰ در همان سال، به‌روش المان محدود يک ورق مستطيلي مرکب لايه‌لايه را بر اساس تئوري دو‌متغيره پالوده شده تحليل نموده‌اند. آن‌ها براي مولفه‌هاي جابجايي درون-صفحه از تابع‌هاي شکل لاگرانژي و براي مولفه‌هاي جابجايي برون-صفحه از تابع‌هاي شکل مرتبه سوم هرميتي استفاده نموده‌اند.آن‌ها اثرهاي تغيير نسبت ضخامت به طول ورق، چيدمان و تغيير زاويه ‌ي لايه‌ها را بر تغيير شکل برشي، پاسخ ارتعاش آزاد و کمانش ورق مرکب لايه‌لايه بررسي نموده‌اند.
تاي و لي ] [۴۱ درسال ۲۰۱۳ در مقاله‌اي آناليز کمانش يک ورق FGM را براساس تئوري دو‌متغيره پالوده شده انجام داده‌اند و حل بسته را براي ورق مستطيلي با شرايط مرزي دو لبه روبه‌رو تکيه‌گاهي ساده و دو لبه‌ي ديگر شرايط‌ دلخواه به روش لوي به‌دست آورده‌اند. آن‌ها اثر پارامتر‌هاي شاخصه‌ي قانون توان و نسبت طول به ضخامت را بر روي بار بحراني بررسي نموده‌اند.
تاي و چوي ] [۴۲ در سال ۲۰۱۴، تئوري دو‌متغيره پالوده شده را براي حل ارتعاش آزاد يک ورق FGM استفاده نموده‌اند و حل بسته اين تئوري را براي يک ورق مستطيلي با شرايط مرزي دو لبه‌ي روبه‌رو تکيه‌گاهي ساده و دو لبه‌ي ديگر شرايط دلخواه، به روش لوي انجام داده‌اند و نتايج آن با تئوري‌هاي کلاسيک ورق، تئوري تغيير شکل برشي مرتبه اول و تئوري تغيير شکل برشي مرتبه بالاتر مقايسه شده است.
۱-۲ روش‌ المان محدود سلسله مراتبي
۱-۲-۱ مقدمه
با ابداع روش المان محدود و به دنبال توسعه و تکامل کامپيوتر، انقلابي در به‌کارگيري روش‌هاي مختلف عددي در عرصه علوم مختلف فني مهندسي به‌وجود آمد. به‌عنوان مثال، بسياري از مسايل علم مکانيک جامدات و مهندسي سازه داراي حل تئوري نيستند،که با استفاده از روش المان محدود و حل معادله‌هاي حاکم به‌وسيله روش‌هاي مختلف عددي حل شده‌اند. روش المان محدود، روش‌ تقريبي براي حل عددي مسايلي است، که امکان حل تئوري آن‌ها وجود ندارد. به ‌همين دليل دقت و همگرايي روش‌ المان محدود اهميت زيادي پيدا مي‌کند.
۱-۲-۲ روش‌هاي المان محدود
در حالت کلي، روش المان محدود را مي‌توان به عنوان يک حالت خاص از روش ريلي- ريتز در نظر گرفت، با اين فرض که از تابع‌هاي متفاوتي براي حل مساله استفاده مي‌شود. ديدگاه‌هاي مختلفي براي افزايش دقت پاسخ‌هاي روش المان محدود بيان گرديده است، که به‌طورکلي آن‌ها به سه دسته کلي تقسيم‌بندي مي‌شوند.


پاسخ دهید